確率論の基礎考察｜攻略『血の島の地下迷宮』｜ゲームブックの情報論

本作中には、自分のサイコロ（1～3個）の出目の和を、相手のサイコロ3個の出目の和と比較する機会が存在する。
サイコロ3個の出目の和を求めることは、他の作品にはあまり見られない例である。

具体的には当該箇所である〈309〉竜使いの試験のチャート攻略で検討するが、ここではその予備作業として、サイコロ3個の出目の和が関わる確率論的考察を、あとで使い回しのきく標準的な形で確立しておくことにしたい。

D/DD/DDDの確率分布

Dの確率分布

サイコロ1個の出目をDの略号で表す。Dの確率分布は次のようになる。

表1. D確率表
D	1	2	3	4	5	6		N, M
確率	1	1	1	1	1	1	分母=6を省略	D(N)
上側確率	6	5	4	3	2	1	分母=6を省略	D-OM(N)
上側確率の小数表示	1.000	0.833	0.667	0.500	0.333	0.167	小数第4位を四捨五入

Dがある数 N をとる確率を D(N) と表す。たとえば D(3)=6分の1 である。
Nは整数値をとり、N < 1 または N > 6 のとき D(N)=0 である。
上側確率とは、Dがある数 N 以上となる確率であり、N ≤ M となるような M についての D(M) の合計値である。
これを D-OM(N) と表す（OMは or more の略）。たとえば D-OM(3)=6分の4 である。
同様にして、下側確率 D-OL(N)（OLは or less の略）を定めることもできるが、ひとまず不要なので省略する。

DDの確率分布

サイコロ2個の出目の和をDDの略号で表す。DDの確率分布は次のようになる。

表2. DD確率表
DD	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		N, M
確率	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1	分母=36を省略	DD(N)
上側確率	36	35	33	30	26	21	15	10	6	3	1	分母=36を省略	DD-OM(N)
上側確率の小数表示	1.000	0.972	0.917	0.833	0.722	0.583	0.417	0.278	0.167	0.083	0.028	小数第4位を四捨五入

DDがある数 N をとる確率をDD(N)と表す。たとえば DD(8)=36分の5 である。
Nは整数値をとり、N < 2 または N > 12 のとき DD(N)=0 である。
上側確率とは、DDがある数 N 以上となる確率であり、N ≤ M となるような M についての DD(M) の合計値である。
これを DD-OM(N) と表す。たとえば DD-OM(8)=36分の15 である。
同様にして、下側確率 DD-OL(N)を定めることもできるが、ひとまず不要なので省略する。

DDDの確率分布

サイコロ3個の出目の和をDDDの略号で表す。DDDの確率分布は次のようになる。

表3. DDD確率表
DDD	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18		N, M
確率	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1	分母=216を省略	DDD(N)
上側確率	216	215	212	206	196	181	160	135	108	81	56	35	20	10	4	1	分母=216を省略	DDD-OM(N)
上側確率の小数表示	1.000	0.995	0.981	0.954	0.907	0.838	0.741	0.625	0.500	0.375	0.259	0.162	0.093	0.046	0.019	0.005	小数第4位を四捨五入

DDDがある数 N をとる確率をDDD(N)と表す。たとえば DDD(9)=216分の25 である。
Nは整数値をとり、N < 3 または N > 18 のとき DDD(N)=0 である。
上側確率とは、DDDがある数 N 以上となる確率であり、N ≤ M となるような M についての DDD(M) の合計値である。
これを DDD-OM(N) と表す。たとえば DDD-OM(9)=216分の160 である。
同様にして、下側確率 DDD-OL(N)を定めることもできるが、ひとまず不要なので省略する。

対dddの確率分布

本作では、自分のD、DD、DDDのいずれかを、相手が出すサイコロ3個の出目の和と比較させられる場面がある。
そこで、それぞれの場合について、自分と相手の出目の出方を掛け合わせた確率分布を次に示す。
このとき、相手のサイコロ3個の出目の和は、小文字を用いてdddと表すことにする。

D×dddの確率分布

表4-1. D×ddd確率表
D	確率	1/216	3/216	6/216	10/216	15/216	21/216	25/216	27/216	27/216	25/216	21/216	15/216	10/216	6/216	3/216	1/216
	ddd	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	1/6	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
2	1/6	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
3	1/6	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
4	1/6	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
5	1/6	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
6	1/6	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
分母=1296を省略

D が ddd を上回る（D > ddd となる）場合を「勝ち」とする
D が ddd と等しい（D = ddd となる）場合を「引き分け」とする
D が ddd に及ばない（D < ddd となる）場合を「負け」とする

各場合の確率は、表4で色分けされた各領域の値の和として求められ、集計すると次のとおりである。

表4-2. D×ddd確率集計表（H=0）
勝敗	勝ち	引き分け	負け
確率の和	15/1296	20/1296	1261/1296

ここで、勝ちの確率を、D×ddd勝ち確率と呼び、D-WIN-ddd(H) と表す。

H はハンディキャップを表し、自分のDに一定の値を加算できる場合には正の値、自分のDから一定の値を差し引く場合には負の値をとる。
H が 0 以外の値をとるときは、表4-1で色分けした領域の境界線が右方向（正の場合）または左方向（負の場合）にシフトし、勝ち、引き分け、負けの確率が変動する。
将来の拡張性を考慮してここで導入しておくが、今のところは H=0 の場合だけを考えればよい。

したがって、表4-2より、D-WIN-ddd(0)=1296分の15（≒ 0.012（小数第4位を四捨五入））である。

同様にして D×ddd引き分け確率 D-DRAW-ddd(H)、D×ddd負け確率 D-LOSE-ddd(H) を定めることもできるが、ひとまず不要なので省略する。

DD×dddの確率分布

表5-1. DD×ddd確率表
DD	確率	1/216	3/216	6/216	10/216	15/216	21/216	25/216	27/216	27/216	25/216	21/216	15/216	10/216	6/216	3/216	1/216
	ddd	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2	1/36	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
3	2/36	2	6	12	20	30	42	50	54	54	50	42	30	20	12	6	2
4	3/36	3	9	18	30	45	63	75	81	81	75	63	45	30	18	9	3
5	4/36	4	12	24	40	60	84	100	108	108	100	84	60	40	24	12	4
6	5/36	5	15	30	50	75	105	125	135	135	125	105	75	50	30	15	5
7	6/36	6	18	36	60	90	126	150	162	162	150	126	90	60	36	18	6
8	5/36	5	15	30	50	75	105	125	135	135	125	105	75	50	30	15	5
9	4/36	4	12	24	40	60	84	100	108	108	100	84	60	40	24	12	4
10	3/36	3	9	18	30	45	63	75	81	81	75	63	45	30	18	9	3
11	2/36	2	6	12	20	30	42	50	54	54	50	42	30	20	12	6	2
12	1/36	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
分母=7776を省略

D×ddd の場合と同様に考えて、DD×ddd勝ち確率 DD-WIN-ddd(H) を定める。

表5-2. DD×ddd確率集計表（H=0）
勝敗	勝ち	引き分け	負け
確率の和	1182/7776	540/7776	6054/7776

表5-2より、DD-WIN-ddd(0)=7776分の1182（≒ 0.152（小数第4位を四捨五入））である。

DDD×dddの確率分布

表6-1. DDD×ddd確率表
DDD	確率	1/216	3/216	6/216	10/216	15/216	21/216	25/216	27/216	27/216	25/216	21/216	15/216	10/216	6/216	3/216	1/216
	ddd	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
3	1/216	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
4	3/216	3	9	18	30	45	63	75	81	81	75	63	45	30	18	9	3
5	6/216	6	18	36	60	90	126	150	162	162	150	126	90	60	36	18	6
6	10/216	10	30	60	100	150	210	250	270	270	250	210	150	100	60	30	10
7	15/216	15	45	90	150	225	315	375	405	405	375	315	225	150	90	45	15
8	21/216	21	63	126	210	315	441	525	567	567	525	441	315	210	126	63	21
9	25/216	25	75	150	250	375	525	625	675	675	625	525	375	250	150	75	25
10	27/216	27	81	162	270	405	567	675	729	729	675	567	405	270	162	81	27
11	27/216	27	81	162	270	405	567	675	729	729	675	567	405	270	162	81	27
12	25/216	25	75	150	250	375	525	625	675	675	625	525	375	250	150	75	25
13	21/216	21	63	126	210	315	441	525	567	567	525	441	315	210	126	63	21
14	15/216	15	45	90	150	225	315	375	405	405	375	315	225	150	90	45	15
15	10/216	10	30	60	100	150	210	250	270	270	250	210	150	100	60	30	10
16	6/216	6	18	36	60	90	126	150	162	162	150	126	90	60	36	18	6
17	3/216	3	9	18	30	45	63	75	81	81	75	63	45	30	18	9	3
18	1/216	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1
分母=46656を省略

D×ddd の場合と同様に考えて、DDD×ddd勝ち確率 DDD-WIN-ddd(H) を定める。

表6-2. DDD×ddd確率集計表（H=0）
勝敗	勝ち	引き分け	負け
確率の和	21162/46656	4332/46656	21162/46656

表6-2より、DDD-WIN-ddd(0)=46656分の21162（≒ 0.454（小数第4位を四捨五入））である。

まとめ

以上で得られた結果のうち、〈309〉竜使いの試験のチャート攻略で参照することになるものを抜粋しておく。

表7. D/DD/DDDの上側確率
N	D-OM(N)	DD-OM(N)	DDD-OM(N)
6	6分の1≒ 0.167	36分の26≒ 0.722	216分の206≒ 0.954
7	0	36分の21≒ 0.583	216分の196≒ 0.907
8	0	36分の15≒ 0.417	216分の181≒ 0.838
9	0	36分の10≒ 0.278	216分の160≒ 0.741

表8. D/DD/DDDの×ddd勝ち確率
D-WIN-ddd(0)	1296分の15≒ 0.012
DD-WIN-ddd(0)	7776分の1182≒ 0.152
DDD-WIN-ddd(0)	46656分の21162≒ 0.454

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